微分几何初步理解
解微分方程，很多时候都不好求解，但是从几何的角度就很容易解释，虽然可能不能得到精确的表达式，但是从几何的角度很容易得到解方程的性质。
比如说：$y^{‘}=1+x-y$这个方程看起来简单但是不好求解，但是我们可以从几何的角度解释。
$f(x, y) = 1+x-y$表示一个方向场，在每一个点都有一个方向，或者说斜率，而$y^{‘}$表示的是解函数（我们假设解为$y_1(x)$)的斜率，所以解函数就是，斜率和方向场相同的曲线，或者叫做，积分曲线。
要证明微分方程的解就是方向场的积分曲线也可以简单说明下。
- 首先微分方程的解肯定是满足微分方程的。
- 也就是说，满足微分方程的函数就是微分方程的解。
- 另一方面，方向场的积分曲线斜率都是和解函数的斜率一样的。
下面我们就来画画这个方向场和积分。
- 计算机在画方向场的时候，
- 取一个点$(x, y)$,
- 计算$f(x, y)$,
- 画图
- 人在画方向场的时候，是和计算机不一样的，
- 去一个方向，$f(x, y) = C$,然后画出$x, y$曲线，并标上方向，这样的线，叫做等斜线。
- 然后更换C，画出其他所有的等值线。这样一来，速度就块多了。
所以，我们继续看这个例子。
$$ f(x, y)=1+x-y = C , y = x+1-c， $$
如图，是$C\in [-4:6:2]$,箭头表示此处的方向场，也就是$C$,$C$代表的是斜率。所以，每一条直线又叫做等斜线。
我们把线画得更多一点)
积分曲线就是沿着一个方向的曲线。